Harta MagicăÎncepe — 10 zile gratuite

Matematică · clasa a 8-a

Ce sunt condițiile de existență la o fracție algebrică?

Pe scurt

Sunt valorile pe care x nu le poate lua, fiindcă ar anula numitorul — iar împărțirea la zero nu există. La x/(x − 2), condiția e x ≠ 2. Se găsesc punând numitorul egal cu zero și rezolvând: x − 2 = 0 dă x = 2, valoarea interzisă.

x/(x − 2), x ≠ 0✗x/(x − 2), x ≠ 2✓

Cum arată greșeala — și ce înseamnă fiecare formă

Pune condiția pe numărător: x ≠ 0 în loc de x ≠ 2.

Nu știe care parte a fracției nu poate fi zero. Cea mai frecventă.

Nu pune nicio condiție.

Le consideră o formalitate. La examen, condițiile au punctaj propriu.

Găsește o condiție, dar uită a doua: la 1/(x² − 4) scrie doar x ≠ 2.

Nu a descompus numitorul. x² − 4 = (x−2)(x+2), deci și x ≠ −2.

De ce apare

Împărțirea la zero nu are rezultat — nu e o convenție, ci o imposibilitate: nu există niciun număr care înmulțit cu 0 să dea 5. O fracție cu numitorul zero nu e „greșită”, pur și simplu nu există pentru acea valoare a lui x.

Elevii tratează condițiile ca pe o formalitate de scris la început, fiindcă nu se folosesc în calculul propriu-zis. În realitate ele sunt parte din răspuns, iar la simplificare devin esențiale: se simplifică prin (x − 2) doar dacă x ≠ 2, altfel s-ar împărți la zero.

Reparația, în trei pași

  1. 1

    Numitorul egalat cu zero

    5 minute pe zi, o săptămână

    Procedura, de fiecare dată: se ia numitorul, se pune egal cu zero, se rezolvă. x − 2 = 0 → x = 2 → condiția e x ≠ 2. Zece fracții pe zi, doar condițiile, fără alt calcul.

  2. 2

    Numitorul descompus întâi

    5 minute pe zi, o săptămână

    La numitori de gradul al doilea, se descompune înainte: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), deci x ≠ 2 și x ≠ −2. Fiecare factor dă o condiție. Un numitor nedescompus ascunde valori interzise.

  3. 3

    Simplificarea, după condiții

    5 minute pe zi, o săptămână

    (x² − 4)/(x + 2) = (x − 2)(x + 2)/(x + 2) = x − 2, pentru x ≠ −2. Condiția rămâne scrisă chiar după ce factorul s-a simplificat — ea ține de fracția inițială.

Cum verifici că s-a reparat

Cinci fracții cu numitori diferiți: x/(x − 3), 2/(x² − 9), (x + 1)/x, 5/(2x − 6), x/(x² + 1). Ultima nu are condiții (x² + 1 nu se anulează niciodată) — dacă observă asta, a înțeles ideea, nu procedura.

Ce devine, dacă rămâne

Condițiile de existență se cer explicit în subiectele de Evaluare Națională, iar simplificarea fără ele e considerată incompletă. Mai departe, în liceu, domeniul de definiție al funcțiilor pornește exact de aici — e aceeași idee, cu alt nume.

Întrebări pe care le pun părinții

De ce nu se poate împărți la zero?
Pentru că împărțirea înseamnă „ce număr înmulțit cu împărțitorul dă deîmpărțitul”. La 5 : 0 ar trebui un număr care înmulțit cu 0 să dea 5 — nu există, fiindcă orice număr înmulțit cu 0 dă 0.
Condițiile se scriu înainte sau după calcul?
Înainte, imediat ce ai scris fracția, și se păstrează până la final. Ele descriu fracția inițială, nu rezultatul simplificat.
x² + 1 poate fi zero?
Nu, în mulțimea numerelor reale: x² e mereu ≥ 0, deci x² + 1 e mereu ≥ 1. O fracție cu acest numitor nu are condiții de existență — un exemplu bun de dat, ca să nu devină o procedură mecanică.

Greșeli înrudite

Matematică · clasa a 8-a

De ce e greșit 6x + 9 = 3(2x + 9)?

Matematică · clasa a 8-a

De ce x² − 9 nu este (x − 3)²?

Greșeala asta o are copilul tău?

Un test de plasare pe fiecare materie arată exact ce nu ține, apoi lecția zilnică de 20 de minute lucrează acolo — cu explicația în clipa greșelii și cu coborârea la conceptul de dedesubt. Primele 10 zile, fără card.

Începe — 10 zile gratuite

Vezi și toate greșelile tipice din clasa a 8-a, cum gândește copilul la vârsta asta sau exercițiile clasei.