Harta MagicăÎncepe — 10 zile gratuite

Matematică · clasa a 8-a

De ce x² − 9 nu este (x − 3)²?

Pe scurt

Pentru că (x − 3)² are trei termeni: x² − 6x + 9. Expresia x² − 9 are doar doi și e o diferență de pătrate, deci se descompune în (x − 3)(x + 3). Verificarea e imediată: desfaceți rezultatul și vedeți dacă obțineți de unde ați plecat.

x² − 9 = (x − 3)²✗x² − 9 = (x − 3)(x + 3)✓

Cum arată greșeala — și ce înseamnă fiecare formă

x² − 9 = (x − 3)².

Confundă diferența de pătrate cu pătratul diferenței. Cea mai frecventă la clasa a VIII-a.

x² + 9 = (x + 3)².

Mai gravă: suma de pătrate nu se descompune deloc în mulțimea numerelor reale.

4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5) corect, dar x⁴ − 16 se oprește la (x² − 4)(x² + 4).

Descompunerea e incompletă: x² − 4 se mai descompune o dată.

De ce apare

Formulele de calcul prescurtat sunt patru și se aseamănă: pătratul sumei, pătratul diferenței, diferența de pătrate, iar la descompuneri se adaugă factorul comun. Memorate ca forme, fără să fi fost desfăcute, ele se amestecă exact la examen, când timpul presează.

Criteriul care le desparte e simplu și mecanic: NUMĂRUL DE TERMENI. Un pătrat perfect dezvoltat are trei termeni (x² ± 2ax + a²); o diferență de pătrate are doi (x² − a²). Elevul care întreabă „câți termeni am?” înainte de a alege formula nu mai greșește.

Reparația, în trei pași

  1. 1

    Numărați termenii

    5 minute, o singură dată

    Pe o fișă, cele două forme una sub alta: x² − 6x + 9 (trei termeni) → (x − 3)²; x² − 9 (doi termeni) → (x − 3)(x + 3). Prima întrebare la orice descompunere: „câți termeni are expresia?”

  2. 2

    Proba inversă, obligatorie

    5 minute pe zi, o săptămână

    Orice descompunere se verifică desfăcând rezultatul: (x − 3)² = x² − 6x + 9 ≠ x² − 9. Greșeala se vede în zece secunde, fără profesor. Elevii care fac proba nu mai predau descompuneri greșite.

  3. 3

    Descompunerea completă

    5 minute pe zi, o săptămână

    După fiecare descompunere, o întrebare: „mai pot descompune vreun factor?”. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4). Se oprește doar când niciun factor nu mai are formă de diferență de pătrate sau factor comun.

Cum verifici că s-a reparat

Șase descompuneri: x² − 25, x² − 10x + 25, 9x² − 4, x² + 8x + 16, 2x² − 8, x⁴ − 1. Ultimele două cer factor comun, respectiv două trepte. Cinci din șase corecte, cu proba inversă la fiecare, înseamnă stăpânit.

Ce devine, dacă rămâne

Descompunerile sunt folosite în clasa a VIII-a la fracții algebrice (condiții de existență, simplificare), la ecuații de gradul al doilea și la probleme. La Evaluarea Națională apar în mai multe subiecte; o confuzie între cele două formule poate costa un punct întreg — adică, adesea, liceul dorit.

Întrebări pe care le pun părinții

x² + 9 chiar nu se descompune?
Nu, în mulțimea numerelor reale. Suma de pătrate rămâne așa. Dacă un exercițiu pare să ceară descompunerea ei, verificați dacă nu e de fapt un factor comun sau o grupare.
Cum știu că am descompus complet?
Verificați fiecare factor: mai are factor comun? e diferență de pătrate? e trinom pătrat perfect? Dacă răspunsul e nu la toate, ați terminat.
Merită învățate formulele pe de rost în clasa a VIII-a?
Da — dar cu proba inversă ca plasă de siguranță. La examen, formula memorată dă viteză, iar proba prinde confuziile. Împreună, sunt de ajuns.

Greșeli înrudite

Matematică · clasa a 7-a

De ce nu este (x + 3)² egal cu x² + 9?

Matematică · clasa a 8-a

De ce se împarte la 3 volumul piramidei și al conului?

Greșeala asta o are copilul tău?

Un test de plasare pe fiecare materie arată exact ce nu ține, apoi lecția zilnică de 20 de minute lucrează acolo — cu explicația în clipa greșelii și cu coborârea la conceptul de dedesubt. Primele 10 zile, fără card.

Începe — 10 zile gratuite

Vezi și toate greșelile tipice din clasa a 8-a, cum gândește copilul la vârsta asta sau exercițiile clasei.